日出時(shí)分，園丁來到她的花園，她呼喊道，“早上好！”她絲毫不知道在葉片和沃土中潛藏著奇怪的東西。作物根部深處有分形和網(wǎng)絡(luò)，而在大波斯菊、蝴蝶花、金盞花和雛菊里面，斐波那契數(shù)正凝視著她。

她像平時(shí)一樣地照料著她的花園。每到一處，總出現(xiàn)一些不平常的事情，但是她都忽視了，只迷戀于自然界呈現(xiàn)在表面上的美景。

她先去整理她的蕨類植物。她在把枯死的蕨葉除去，使新的提琴狀頭部露出時(shí)，并沒有認(rèn)識到等角螺線正在迎候著她，也沒有注意到蕨葉的分形狀構(gòu)造。突然，當(dāng)微風(fēng)轉(zhuǎn)向時(shí)，她猛然聞到了忍冬花的香氣。縱眼望去，她看到它已越過籬笆，伸入豌豆叢中。她斷定確實(shí)需要將它仔細(xì)修剪一番。她不知道螺旋線正在起作用，即呈左手螺旋狀的忍冬花藤已經(jīng)纏繞在呈右手螺旋狀的某些豌豆藤上了。需要用手小心地防止它們損壞她新種的豌豆。

接著她來到為了使花園產(chǎn)生一點(diǎn)異國情調(diào)而種植的棕櫚樹下面除草。樹枝在微風(fēng)中擺動，她沒有意識到漸伸線正在擦著她的肩頭。

她沾沾自喜地望著她的玉米。“哈！”她想。她對種植玉米曾經(jīng)躊躇過，但終于因玉米幼株長勢喜人而決定種植。她不知道玉米粒的三重聯(lián)結(jié)會在玉米穗內(nèi)形成。

整個(gè)花園正在逐漸成形，植物正在茁壯成長，這景況是多么喜人�。≡谫澝篱蕵渖闲碌木G葉時(shí)，她知道它們的形狀中蘊(yùn)藏著某種可愛的東西——自然界的對稱線是很盡職的。而自然界的葉序則只有受過訓(xùn)練的眼睛才會從萌生在植物枝莖上的葉子中看出。

她舉目四顧，把注意力集中在一片胡蘿卜土地上。她對胡蘿卜的長勢感到驕傲，并且注意到需要把它們弄得稀疏些，以保證收獲到個(gè)頭均勻而且大小合宜的胡蘿卜。她不想讓自然界用胡蘿卜來鑲嵌空間。

她沒有意識到花園中到處是等角螺線。它們存在于雛菊和其他花卉的頭狀花序之中，許多生長著的東西會形成這種螺線，因?yàn)樗鼈冮L大時(shí)要保持形狀不變。

氣溫漸漸高了，所以她決定在太陽下山時(shí)再繼續(xù)作業(yè)。同時(shí)她作出一個(gè)最后的評價(jià)——贊美她用心選擇的花卉、菜蔬和其他植物是搭配得如此得當(dāng)。但是她又一次忽略了什么。她的花園充滿著球形、圓錐、多面體和其他幾何形狀，可是她并未覺察到它們。

當(dāng)自然界在花園中創(chuàng)造著奇跡時(shí)，大多數(shù)人對于自然界習(xí)以為常的大量計(jì)算和數(shù)許多對稱類型出現(xiàn)在花園內(nèi)。例如在上圖中，人們能在甘藍(lán)小花中找到點(diǎn)對稱，在葉中找到線對稱。學(xué)工作視而不見。自然界清楚地知道如何利用有限的材料和空間工作，并產(chǎn)生出最和諧的形式。因此，在春季的每一天，這位園丁都懵懵懂懂地走進(jìn)她的領(lǐng)地。她要找出每天給她帶來的新的生長和繁盛，卻不注意在她的園地里開放著的美麗的數(shù)學(xué)鮮花。

能表現(xiàn)為對稱地變化/生長的對象，或隨機(jī)地非對稱地變化的對象。在任一種情形中，分形都是按照用來描述和支配一個(gè)初始對象的生長的一些數(shù)學(xué)規(guī)則和模式而變化的。人們把一個(gè)幾何分形看作無盡的生

分形

成模式——不斷以較小式樣復(fù)制自己的模式。于是當(dāng)一個(gè)幾何分形的一部分被放大時(shí)，它看起來恰如原來的式樣。反之，當(dāng)歐幾里得幾何對象例如圓的一部分被放大時(shí)，它看起來就逐漸地不那么彎曲了。蕨類植物是分形復(fù)制的理想例子。如果你瞄準(zhǔn)分形蕨的任何部分，它看來就像原來的蕨葉。分形蕨可以在計(jì)算機(jī)上生成。

網(wǎng)絡(luò)是把一個(gè)問題或狀況用較簡單的圖表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)圖形。網(wǎng)絡(luò)被歐拉用在柯尼斯堡橋問題中（見本書“數(shù)學(xué)三劍客——邏輯、娛樂和游戲”章）。他把這問題簡化成一個(gè)簡單的圖形，經(jīng)過分析把它解決了。今天網(wǎng)絡(luò)是拓?fù)鋵W(xué)中常用的工具。

即 1，1，2，3，5，8，13，21，…。斐波那契（比薩的倫納多）是中世紀(jì)的主要數(shù)學(xué)家之一。雖然他在算術(shù)、代數(shù)和幾何領(lǐng)域都作出過重大貢獻(xiàn)，他在今天則僅因這一數(shù)列而聞名，這正是他的《算盤書》（Liber Abaci）中一個(gè)難題的解。在19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家愛德華·盧卡斯編的一本娛樂性數(shù)學(xué)書中有這個(gè)問題。斐波那契的名字與這數(shù)列聯(lián)系起來就在此時(shí)。在自然界，這數(shù)列出現(xiàn)在下列植物中：

斐波那契數(shù)

·花瓣數(shù)是斐波那契數(shù)的花（延齡草、野玫瑰、美洲血根草、大波斯菊、耬斗菜、百合花、蝴蝶花）

·葉、細(xì)枝和莖的排列形式稱做葉序。選擇莖上一片葉子，從它開始數(shù)葉片（假定沒有一片折斷），直至與所選葉片在同一直線上的葉片為止。數(shù)得的葉片數(shù)（所選第一片不計(jì)）在許多植物中通常是斐波那契數(shù)，例如榆樹、櫻桃樹或梨樹。

·松果數(shù)：如果數(shù)出松果上的左手和右手螺線，這兩個(gè)數(shù)往往是相鄰的斐波那契數(shù)。對于向日葵和其他花卉的頭狀花序來說，情況也是如此。菠蘿也是一樣。觀察菠蘿的底部，數(shù)出由六邊形狀鱗皮組成的左右螺線數(shù)。它們應(yīng)該是相鄰的斐波那契數(shù)。

螺線和螺旋線：螺線是出現(xiàn)在自然界許多場所的數(shù)學(xué)形式，例如提琴頭蕨類植物、藤蔓、貝殼、龍卷風(fēng)、颶風(fēng)、松果、銀河、旋渦的曲線。有平坦螺線、三維螺線、右手和左手螺線、等角螺線、對數(shù)螺線、雙曲螺線、阿基米德螺線，而螺旋線則是數(shù)學(xué)所描述的許多螺線類型中的幾種。等角螺線出現(xiàn)在自然界的鸚鵡螺殼、向日葵頭狀花序、圓形織網(wǎng)蛛的網(wǎng)等生長形式中。等角螺線的兒個(gè)特性是：螺線切線同螺線半徑所形成的角是全等到的（故名等角）；以幾何速率增大，因此任何半徑被螺線分割成的線段形成幾何級數(shù)；長大時(shí)形狀不變。

漸伸線：當(dāng)一根繩正沿著另一曲線（這里是圓）繞上或脫下時(shí)，它描出一條漸伸線。漸伸線的形狀見于鷹嘴、鯊魚背鰭和棕櫚樹懸葉尖端。

：三重聯(lián)結(jié)是三個(gè)線段的交會點(diǎn)，交點(diǎn)處的三個(gè)角都是120°。許多自然事件是由于邊界或空間利用率所引起的一些限制而產(chǎn)生的。三重聯(lián)結(jié)是某些自然事件所趨向的一個(gè)平衡點(diǎn)。除了別的場合以外，三重聯(lián)結(jié)見于肥皂泡群、玉米棒子上谷粒的構(gòu)成、地面或石塊的裂縫。

三重聯(lián)結(jié)

對稱：對稱是人們在蝴蝶軀體、葉片形狀、人體結(jié)構(gòu)、圓的完美性中看到和感覺到的完全平衡。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看來，一個(gè)對象被認(rèn)為具有軸對稱的條件是：人們能找到一條線把它分成全同的兩部分，如果有可能沿這線折疊，這兩部分將互相完全重疊。一個(gè)對象具有點(diǎn)對稱的條件是：對于一個(gè)特定的點(diǎn)，存在著無窮多條這樣的對稱軸，例如一個(gè)圓對它的中心點(diǎn)來說具有點(diǎn)對稱。

鑲嵌：鑲嵌一個(gè)平面，就是說能用平坦的拼磚覆蓋這個(gè)平面，并且拼磚間沒有空隙，也不互相交疊，例如用正六邊形、正方形或其他形狀的拼磚進(jìn)行的鑲嵌�？臻g的鑲嵌或充填則用立方體或截頭八面體等三維對象。