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稀少而有趣的完美數(shù)

來源:碧溪中心小學 2008-05-07 18:06:39

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  已知自然數(shù)a和b,如果b能夠整除a,就說b是a的一個因數(shù),也稱為約數(shù)。顯然,任何自然數(shù)a,總有因數(shù)1和a。我們把小于a的因數(shù)叫做a的真因數(shù)。

  例如6,12,14這三個數(shù)的所有真因數(shù):

  6: 1, 2, 3; 1 + 2 + 3 = 6

  12: 1, 2, 3, 4, 6; 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12

  14: 1, 2, 7; 1 + 2 + 7 = 10 < 14

  像12這樣小于它的真因數(shù)之和的叫做虧數(shù)(不足數(shù));大于真因數(shù)之和的(如14)叫做盈數(shù)或過剩數(shù);恰好相等的(如6)叫做完全數(shù),也稱為完美數(shù)。

  古希臘人非常重視完全數(shù)。大約在公元100年,尼哥馬修斯寫了第一本專門研究數(shù)論的書《算術入門》,其中寫道:"也許是這樣:正如美的、卓絕的東西是罕有的,是容易計數(shù)的,而丑的、壞的東西卻滋蔓不已;所以盈數(shù)和虧數(shù)非常之多,而且紊亂無章,它們的發(fā)現(xiàn)也毫無系統(tǒng)。但是完全數(shù)則易于計數(shù),而且又順理成章……,它們具有一致的特性;尾數(shù)都是6或8,而且永遠是偶數(shù)。"

  現(xiàn)在數(shù)學家已發(fā)現(xiàn),完全數(shù)非常稀少,至今人們只發(fā)現(xiàn)29個,而且都是偶完全數(shù)。前5個分別是:6,28,496,8128,33550336。   完全數(shù)有許多有趣的性質,例如:

  1. 它們都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和:

    6=1+2+3,

    28=1+2+3+4+5+6+7,

    496=1+2+3+4+……+31,

    8128=1+2+3+4+……+127;

  2. 它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都是2。

    1/1+1/2+1/3+1/6=2

    1/1+1/2+1/4+1/7+1/(14)+1/(28)=2

    1/1+1/2+1/4+1/8+1/(16)+1/(31)+1/(62)+1/(124)+1/(248)+1/(496)=2

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