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六年級奧數(shù)專題訓(xùn)練——同余問題

2009-03-21 15:34:47      下載試卷

  六年級奧數(shù)專題訓(xùn)練——同余問題

  1.若a為自然數(shù),證明10│(a2005-a1949).

  2.給出12個彼此不同的兩位數(shù),證明:由它們中一定可以選出兩個數(shù),它們的差是兩個相同數(shù)字組成的兩位數(shù).

  3.求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位數(shù).

  4.設(shè)2n+1是質(zhì)數(shù),證明:12,22,…,n2被2n+1除所得的余數(shù)各不相同.

  5.試證不小于5的質(zhì)數(shù)的平方與1的差必能被24整除.

  參考答案:

  1.提示:對于任何自然數(shù)a,a5與a的個位數(shù)字相同.

  2.提示:有兩個數(shù)的差能被11整除

  3.173

  4.分析這道題肯定不可能通過各數(shù)被2n+1除去求余數(shù).那么我們可以考慮從反面入手,假設(shè)存在兩個相同的余數(shù)的話,就會發(fā)生矛盾.而中間的推導(dǎo)是步步有根據(jù)的,所以發(fā)生矛盾的原因是假設(shè)不合理.從而說明假設(shè)不成立,因此原來的結(jié)論是正確的.

  證明:假設(shè)有兩個數(shù)a、b,(a≠b,設(shè)b<a,且1≤a≤n,1≤b≤n),它們的平方a2,b2被2n+1除余數(shù)相同.

  那么,由同余定義得a2-b2≡0(mod(2n+1)).

  即(a+b)(a-b)≡0(mod(2n+1)),由于2n+1是質(zhì)數(shù).

  ∴a+b≡0(mod(2n+1))或a-b≡0(mod(2n+1)).

  由于a+b,a-b均小于2n+1且大于零,可知,a+b與2n+1互質(zhì),a-b也與2n+1互質(zhì).即a+b與a-b都不能被2n+1整除.產(chǎn)生矛盾,∴原題得證.

  說明:這里用到一個重要的事實:如果A·B≡0(modp),p是質(zhì)數(shù),那么A或B中至少有一個模p為零.p是質(zhì)數(shù)這一條件不能少,否則不能成立。例如2·3≡0(mod6),但2、3被6除余數(shù)不為0。

  5.證明:∵質(zhì)數(shù)中僅有一個偶數(shù)2,∴不小于5的質(zhì)數(shù)是奇數(shù).又不小于5的自然數(shù)按除以6所得的余數(shù)可分為6類:6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5,(n是自然數(shù)),其中6n,6n+2,6n+4都是偶數(shù),又3│6n+3.

  ∴不小于5的質(zhì)數(shù)只可能是6n+1,6n+5.

  又自然數(shù)除以6余數(shù)是5的這類數(shù)換一記法是:6n-1,

  ∴(不小于5的質(zhì)數(shù))2-1=(6n±1)2-1

 。36n2±12n=12n(3n±1),

  這里n與(3n±1)奇偶性不同,其中定有一個偶數(shù),

  ∴2│n(3n±1),∴24│12n(3n±1).∴結(jié)論成立.

  說明:按同余類造抽屜是解競賽題的常用方法.

來源:網(wǎng)絡(luò) 作者:匿名

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