下圖中黑白相間的圖樣乍看起來可能看不出任何規(guī)則，其實整個圖樣由第一行開始依據(jù)一項簡單的規(guī)則逐行產生一個圖樣。
當你已找出該圖樣的規(guī)則并且依此規(guī)則再推導出幾行之后，試著判定一行中是否有可能產生以下情況：
(1)全為黑球。
(2)或全為白球。
(3)或只出現(xiàn)一個黑球。
依據(jù)此一規(guī)則加以推算，一列中的圖樣是否有可能重復出現(xiàn)？ (答案見109頁)
解答與分析
自第2行起，每一個球的顏色由其正上方(上一行)左右兩球的顏色決定。如果上一行中的兩個球顏色相同，則這一行所對應的球為白色，如果顏色不同則為黑色。
每一行球視為一首尾相連的帶子，所以最右端的球與最左端的球相連接。
因此在決定新的一行中最后一球的顏色時，由上一行最后一球與最前面一球的顏色來決定。在第1行之后黑球數(shù)及白球數(shù)必定為偶數(shù)，為什么？
若出現(xiàn)一行中全為白球則其上一行必定全為黑球或全為白球，所以與出現(xiàn)一行全為白球與一行全為黑球的概率有關。如果一行中全為黑球則其上一行必定是黑球與白球相間，從下面的討論中可以看出這種情況不可能發(fā)生。
假設6為白球則1必定要為黑球，以使得第2行的最右端為黑球。此時2必須為黑球，如此才能使第2行的最左端為白球。2為黑球則3為白球，此又意味著4為白球，接著又意味著5為黑球，結果這造成5和6的顏色相反，這與下一行倒數(shù)第2個球為白色的事實相矛盾。同樣，如果第6個球的顏色為黑色，則仍會產生相同的矛盾。
只出現(xiàn)一個黑球的情況也不可能發(fā)生，因為這種情況必定會在上一行產生一個黑球及一個白球，經過簡單的推論后將發(fā)現(xiàn)最后多出一個黑球。
這種規(guī)則的圖樣必定會在某一次排列時出現(xiàn)相同的一行。因為每一行中可能出現(xiàn)的圖樣數(shù)目有限，而應用該規(guī)則可連續(xù)不斷地產生新序列，所以必定會有重復的情形出現(xiàn)。
