“不鄰問題”插板法——先排列，再插空

　　“不鄰問題”插空法，即在解決對于某幾個元素要求不相鄰問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解決的策略。

　　例．若有A、B、C、D、E五個人排隊，要求A和B兩個人必須不站在一起，則有多少排隊方法？

　　【解析】題目要求A和B兩個人必須隔開。首先將C、D、E三個人排列，有種排法；若排成DCE，則D、C、E“中間”和“兩端”共有四個空位置，也即是：︺D︺C︺E︺，此時可將A、B兩人插到四個空位置中的任意兩個位置，有種插法。由乘法原理，共有排隊方法：。

　　例．在一張節(jié)目單中原有6個節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對順序不變，再添加進去3個節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？

　　【解析】直接解答較為麻煩，可利用插空法去解題，故可先用一個節(jié)目去插7個空位（原來的6個節(jié)目排好后，中間和兩端共有7個空位），有種方法；再用另 一個節(jié)目去插8個空位，有種方法；用最后一個節(jié)目去插9個空位，有種方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為=504種。

　　例．一條馬路上有編號為1、2、……、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？

　　【解析】若直接解答須分類討論，情況較復雜。故可把六盞亮著的燈看作六個元素，然后用不亮的三盞燈去插7個空位，共有種方法（請您想想為什么不是），因此所有不同的關(guān)燈方法有種。

　　【提示】運用插空法解決排列組合問題時，一定要注意插空位置包括先排好元素“中間空位”和“兩端空位”。解題過程是“先排列，再插空”。